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Questões que alunos do primeiro e segundo anos do Ensino Médio podem aplicar os conhecimentos adquiridos.
Questão1) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e , após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 80mm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$3,00 a unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João
a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro o preço também deve dobrar.
b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$12,00.
c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.
d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.
e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.
Arranjo ou combinação? Qual usar
Nessa postagem você verá algumas dicas sobre arranjo, combinação e permutação, pois muitas pessoas tem dificuldades em diferenciar cada um desses temas e ao final deixaremos para vocês uma tabela para nunca mais se confundir. Mas antes, só relembrando como fazer o fatorial de um número, exemplo:
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
5!=5.4.3.2.1=120
O fatorial de um número é produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a ele.
Utilizando Permutação
Para diferenciar se é arranjo permutação ou combinação vocês têm que fazer a seguinte pergunta:
O número de objetos é igual ao número de posições?
Se a resposta for sim, então você utiliza permutação, ou seja, p=n!, olha o seguinte exemplo:
Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04,10,26,37,47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
O número de objetos é igual ao número de posições? Sim, pois temos 6 números e 6 posições, ou seja, é uma permutação, logo vamos utilizar p=n!, o número de objetos é 6, logo p=6!=6.5.4.3.2.1=720. Então as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado foram 720 maneiras.
Arranjo ou Combinação
Agora fazendo a pergunta novamente:
O número de objetos é igual ao número de posições?
Se a resposta for não, então você faz a seguinte pergunta: a ordem importa? Se a resposta for sim, você utiliza arranjo, se a resposta for não, você utiliza combinação, veja os exemplos:
Exemplo 1) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
Fazendo a pergunta:
O número de objetos é igual ao número de posições?
Não, porque temos 10 objetos e 6 posições.
A segunda pergunta: a ordem importa?
Sim, note que a sequência 1,3,5,6,7,9 é diferente da sequência 9,7,6,5,3,1. Logo vamos utilizar arranjo, ou seja:
An,p=n!(n−p)!
N é o número de objetos, ou seja, n=10. E p o número de posições, ou seja, p=6. Então temos:
A10,6=10!(10−6)!=10!4!=10.9.8.7.6.5.(4!)4!=10.9.8.7.6.5=151200 possibilidades existentes.
Exemplo 2) Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.
Fazendo a pergunta:
O número de objetos é igual ao número de posições?
Não, porque temos 8 cobaias e vamos escolher 3.
A segunda pergunta: a ordem importa?
Não, ordem não importa, note que se numerarmos as cobaias de 1 a 8. E escolhermos a cobaia 2, 4, e 5 é a mesma coisa que escolher a cobaia 4,5 e 2. Logo é uma combinação onde o n que é o número de elementos é 8 e p que é o número de elementos a serem escolhido é 3.
Cn,p=n!(n−p)!p!, como n=8 e p=3 temos:
C8,3=8!(8−3)!3!=8.7.6.5!5!3.2.1=8.7.63.2.1=3366=56 maneiras.